有关知识蒸馏的笔记
知识蒸馏是一种模型压缩方法，是一种基于“教师-学生网络思想”的训练方法，由于其简单，有效，在工业界被广泛应用。这一技术的理论来自于2015年Hinton发表的一篇神作： Distilling the Knowledge in a Neural Network(https：//arxiv.org/pdf/1503.02531.pdf)
Knowledge Distillation，简称KD，顾名思义，就是将已经训练好的模型包含的知识(”Knowledge”)，蒸馏(“Distill“)提取到另一个模型里面去。今天，我们就来简单读一下这篇论文，力求用简单的语言描述论文作者的主要思想。在本文中，我们将从背景和动机讲起，然后着重介绍“知识蒸馏”的方法，最后我会讨论“温度“这个名词。
1 介绍
1.1 论文提出的背景 虽然在一般情况下，我们不会去区分训练和部署使用的模型，但是训练和部署之间存在着一定的不一致性：
在训练过程中，我们需要使用复杂的模型，大量的计算资源，以便从非常大、高度冗余的数据集中提取出信息。在实验中，效果最好的模型往往规模很大，甚至由多个模型集成得到。而大模型不方便部署到服务中去，常见的瓶颈如下： 推断速度慢、对部署资源要求高(内存，显存等)
在部署时，我们对延迟以及计算资源都有着严格的限制。
因此，模型压缩（在保证性能的前提下减少模型的参数量）成为了一个重要的问题。而”模型蒸馏“属于模型压缩的一种方法。
插句题外话，我们可以从模型参数量和训练数据量之间的相对关系来理解underfitting和overfitting。
模型就像一个容器，训练数据中蕴含的知识就像是要装进容器里的水。当数据知识量(水量)超过模型所能建模的范围时(容器的容积)，加再多的数据也不能提升效果(水再多也装不进容器)，因为模型的表达空间有限(容器容积有限)，就会造成underfitting。而当模型的参数量大于已有知识所需要的表达空间时(容积大于水量，水装不满容器)，就会造成overfitting，即模型的variance会增大(想象一下摇晃半满的容器，里面水的形状是不稳定的)。
1.2 “思想歧路”
上面容器和水的比喻非常经典和贴切，但是会引起一个误解： 人们在直觉上会觉得，要保留相近的知识量，必须保留相近规模的模型。也就是说，一个模型的参数量基本决定了其所能捕获到的数据内蕴含的“知识”的量。
这样的想法是基本正确的，但是需要注意的是：
模型的参数量和其所能捕获的“知识“量之间并非稳定的线性关系(下图中的1)，而是接近边际收益逐渐减少的一种增长曲线(下图中的2和3)。 完全相同的模型架构和模型参数量，使用完全相同的训练数据，能捕获的“知识”量并不一定完全相同，另一个关键因素是训练的方法。合适的训练方法可以使得在模型参数总量比较小时，尽可能地获取到更多的“知识”(下图中的3与2曲线的对比)。
2 知识蒸馏的理论依据
2.1 Teacher Model和Student Model
知识蒸馏使用的是Teacher—Student模型，其中teacher是“知识”的输出者，student是“知识”的接受者。知识蒸馏的过程分为2个阶段：
原始模型训练： 训练“Teacher模型“， 简称为Net-T，它的特点是模型相对复杂，也可以由多个分别训练的模型集成而成。我们对“Teacher模型“不作任何关于模型架构、参数量、是否集成方面的限制，唯一的要求就是，对于输入X， 其都能输出Y，其中Y经过softmax的映射，输出值对应相应类别的概率值。
精简模型训练： 训练“Student模型“， 简称为Net-S，它是参数量较小、模型结构相对简单的单模型。同样的，对于输入X，其都能输出Y，Y经过softmax映射后同样能输出对应相应类别的概率值。
在本论文中，作者将问题限定在分类问题下，或者其他本质上属于分类问题的问题，该类问题的共同点是模型最后会有一个softmax层，其输出值对应了相应类别的概率值。
2.2 知识蒸馏的关键点
如果回归机器学习最最基础的理论，我们可以很清楚地意识到一点(而这一点往往在我们深入研究机器学习之后被忽略)： 机器学习最根本的目的在于训练出在某个问题上泛化能力强的模型。
泛化能力强： 在某问题的所有数据上都能很好地反应输入和输出之间的关系，无论是训练数据，还是测试数据，还是任何属于该问题的未知数据。
而现实中，由于我们不可能收集到某问题的所有数据来作为训练数据，并且新数据总是在源源不断的产生，因此我们只能退而求其次，训练目标变成在已有的训练数据集上建模输入和输出之间的关系。由于训练数据集是对真实数据分布情况的采样，训练数据集上的最优解往往会多少偏离真正的最优解(这里的讨论不考虑模型容量)。
而在知识蒸馏时，由于我们已经有了一个泛化能力较强的Net-T，我们在利用Net-T来蒸馏训练Net-S时，可以直接让Net-S去学习Net-T的泛化能力。
一个很直白且高效的迁移泛化能力的方法就是：使用softmax层输出的类别的概率来作为“soft target”。
KD的训练过程和传统的训练过程的对比
传统training过程(hard targets)： 对ground truth求极大似然 KD的training过程(soft targets)： 用large model的class probabilities作为soft targets
KD的训练过程为什么更有效?
softmax层的输出，除了正例之外，负标签也带有大量的信息，比如某些负标签对应的概率远远大于其他负标签。而在传统的训练过程(hard target)中，所有负标签都被统一对待。也就是说，KD的训练方式使得每个样本给Net-S带来的信息量大于传统的训练方式。
【举个例子】
在手写体数字识别任务MNIST中，输出类别有10个。
假设某个输入的“2”更加形似“3“，softmax的输出值中“3“对应的概率为0.1，而其他负标签对应的值都很小，而另一个“2“更加形似“7“，“7“对应的概率为0.1。这两个“2“对应的hard target的值是相同的，但是它们的soft target却是不同的，由此我们可见soft target蕴含着比hard target多的信息。并且soft target分布的熵相对高时，其soft target蕴含的知识就更丰富。
两个”2“的hard target相同而soft target不同。这就解释了为什么通过蒸馏的方法训练出的Net-S相比使用完全相同的模型结构和训练数据只使用hard target的训练方法得到的模型，拥有更好的泛化能力。
2.3. softmax函数
先回顾一下原始的softmax函数： \[ q_i=\frac{\exp \left(z_i\right)}{\sum_j \exp \left(z_j\right)} \]
但要是直接使用softmax层的输出值作为soft target， 这又会带来一个问题： 当softmax输出的概率分布熵相对较小时，负标签的值都很接近0，对损失函数的贡献非常小，小到可以忽略不计。因此“温度“这个变量就派上了用场。
下面的公式时加了温度这个变量之后的softmax函数： \[ q_i=\frac{\exp \left(z_i / T\right)}{\sum_j \exp \left(z_j / T\right)} \]
这里的T就是温度。原来的softmax函数是T = 1的特例。 T越高，softmax的output probability distribution越趋于平滑，其分布的熵越大，负标签携带的信息会被相对地放大，模型训练将更加关注负标签。
3 知识蒸馏的具体方法
3.1 通用的知识蒸馏方法
第一步是训练Net-T；第二步是在高温T下，蒸馏Net-T的知识到Net-S
训练Net-T的过程很简单，下面详细讲讲第二步：高温蒸馏的过程。高温蒸馏过程的目标函数由distill loss(对应soft target)和student loss(对应hard target)加权得到。示意图如上。 \[ L=\alpha L_{\text {soft }}+\beta L_{\text {hard }} \] \(v_i\)： Net-T的logits \(z_i\)： Net-S的logits \(p^T_i\)： Net-T的在温度=T下的softmax输出在第i类上的值 \(q^T_i\)： Net-S的在温度=T下的softmax输出在第i类上的值 \(c_i\)： 在第i类上的ground truth值， ， 正标签取1，负标签取0. \(N\)： 总标签数量 Net-T 和 Net-S同时输入 transfer set (这里可以直接复用训练Net-T用到的training set)，用Net-T产生的softmax distribution (with high temperature) 来作为soft target，Net-S在相同温度T条件下的softmax输出和soft target的cross entropy就是Loss函数的第一部分\(L_{soft}\)。 \[ L_{s o f t}=-\sum_j^N p_j^T \log \left(q_j^T\right) \] 其中 \[ p_i^T=\frac{\exp \left(v_i / T\right)}{\sum_k^N \exp \left(v_k / T\right)} \]
\[ q_i^T=\frac{\exp \left(z_i / T\right)}{\sum_k^N \exp \left(z_k / T\right)} \]
Net-S在T=1的条件下的softmax输出和ground truth的cross entropy就是Loss函数的第二部分\(L_{hard}\)。 \[ L_{h a r d}=-\sum_j^N c_j \log \left(q_j^1\right) \] 其中 \[ q_i^1=\frac{\exp \left(z_i\right)}{\sum_k^N \exp \left(z_k\right)} \] 第二部分Loss\(L_{hard}\)的必要性其实很好理解： Net-T也有一定的错误率，使用ground truth可以有效降低错误被传播给Net-S的可能。打个比方，老师虽然学识远远超过学生，但是他仍然有出错的可能，而这时候如果学生在老师的教授之外，可以同时参考到标准答案，就可以有效地降低被老师偶尔的错误“带偏”的可能性。
【讨论】
实验发现第二部分所占比重比较小的时候，能产生最好的结果，这是一个经验的结论。一个可能的原因是，由于soft target产生的gradient与hard target产生的gradient之间有与 相关的比值。原论文中只是一笔带过，我在下面补充了一些简单的推导。
Soft Target： \[ \begin{aligned} &L_{s o f t}=-\sum_j^N p_j^T \log \left(q_j^T\right)=-\sum_j^N \frac{z_j / T \times \exp \left(v_j / T\right)}{\sum_k^N \exp \left(v_k / T\right)}\left(\frac{1}{\sum_k^N \exp \left(z_k / T\right)}-\frac{\exp \left(z_j / T\right)}{\left(\sum_k^N \exp \left(z_k / T\right)\right)^2}\right) \\ &\approx-\frac{1}{T \sum_k^N \exp \left(v_k / T\right)}\left(\frac{\sum_j^N z_j \exp \left(v_j / T\right)}{\sum_k^N \exp \left(z_k / T\right)}-\frac{\sum_j^N z_j \exp \left(z_j / T\right) \exp \left(v_j / T\right)}{\left(\sum_k^N \exp \left(z_k / T\right)\right)^2}\right) \end{aligned} \] Hard Target： \[ L_{h a r d}=-\sum_j^N c_j \log \left(q_j^1\right)=-\left(\frac{\sum_j^N c_j z_j}{\sum_k^N \exp \left(z_k\right)}-\frac{\sum_j^N c_j z_j \exp \left(z_j\right)}{\left(\sum_k^N \exp \left(z_k\right)\right)^2}\right) \] 由于\(\frac{\partial L_{\text {soft }}}{\partial z_i}\)的magnitude大约是\(\frac{\partial L_{\text {hard }}}{\partial z_i}\)的\(1/{T^2}\)，因此在同时使用soft target和hard target的时候，需要在soft target之前乘上\({T^2}\)的系数，这样才能保证soft target和hard target贡献的梯度量基本一致。
【注意】在Net-S训练完毕后，做inference时其softmax的温度T要恢复到1.
3.2 一种特殊情形： 直接match logits(不经过softmax)
直接match logits指的是，直接使用softmax层的输入logits（而不是输出）作为soft targets，需要最小化的目标函数是Net-T和Net-S的logits之间的平方差。
直接上结论： 直接match logits的做法是 的情况下的特殊情形。
由单个case贡献的loss，推算出对应在Net-S每个logit上的gradient： \[ \frac{\partial L_{s o f t}}{\partial z_i}=\frac{1}{T}\left(q_i-p_i\right)=\frac{1}{T}\left(\frac{e^{z_i / T}}{\sum_j e^{z_j / T}}-\frac{e^{v_i / T}}{\sum_j e^{v_j / T}}\right) \] 当$T-> $时，我们使用\(1+x/T\)来近似 ，于是得到 \[ \frac{\partial L_{\text {soft }}}{\partial z_i} \approx \frac{1}{T}\left(\frac{1+z_i / T}{N+\sum_j z_j / T}-\frac{1+v_i / T}{N+\sum_j v_j / T}\right) \] 如果再加上logits是零均值的假设 \[ \sum_j z_j=\sum_j v_j=0 \] 那么上面的公式可以简化成 \[ \frac{\partial L_{s o f t}}{\partial z_i} \approx \frac{1}{N T^2}\left(z_i-v_i\right) \] 也就是等价于minimise下面的损失函数 \[ L_{\text {soft }}^{\prime}=1 / 2\left(z_i-v_i\right)^2 \] 4 关于“温度“的讨论
【问题】 我们都知道“蒸馏”需要在高温下进行，那么这个“蒸馏”的温度代表了什么，又是如何选取合适的温度？
随着温度T的增大，概率分布的熵逐渐增大
4.1 温度的特点
在回答这个问题之前，先讨论一下温度T的特点
原始的softmax函数是\(T=1\)时的特例，\(T<1\)时，概率分布比原始更“陡峭”，\(T>1\)时，概率分布比原始更“平缓”。
温度越高，softmax上各个值的分布就越平均（思考极端情况： (i) ， 此时softmax的值是平均分布的；(ii) ，此时softmax的值就相当于 ， 即最大的概率处的值趋近于1，而其他值趋近于0）
不管温度T怎么取值，Soft target都有忽略相对较小的\(p_i\)携带的信息的倾向
4.2 温度代表了什么，如何选取合适的温度？
温度的高低改变的是Net-S训练过程中对负标签的关注程度： 温度较低时，对负标签的关注，尤其是那些显著低于平均值的负标签的关注较少；而温度较高时，负标签相关的值会相对增大，Net-S会相对多地关注到负标签。
实际上，负标签中包含一定的信息，尤其是那些值显著高于平均值的负标签。但由于Net-T的训练过程决定了负标签部分比较noisy，并且负标签的值越低，其信息就越不可靠。因此温度的选取比较empirical，本质上就是在下面两件事之中取舍：
从有部分信息量的负标签中学习 --> 温度要高一些
防止受负标签中噪声的影响 -->温度要低一些
总的来说，T的选择和Net-S的大小有关，Net-S参数量比较小的时候，相对比较低的温度就可以了（因为参数量小的模型不能capture all knowledge，所以可以适当忽略掉一些负标签的信息）
